Ley de los cosenos

La ley de cosenos se puede considerar como una extensión del teorema de pitágoras aplicable a todos los triángulos. Ella enuncia así: el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos dos lados multiplicado por el coseno del ángulo que forman. Si aplicamos este teorema al triángulo de la figura 1 obtenemos tres ecuaciones: Resolver un triángulo significa obtener el valor de la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos internos. Para resolver triángulos que nos son rectángulos se utiliza la ley de cosenos y/o la ley de senos. Todo dependerá de los valores conocidos. Ejemplo: Supongamos que en el triángulo de la figura 1 . Encontrar la longitud del tercer lado. Solución: Para calcular el valor del tercer lado, podemos emplear la ley de cosenos: La ley de los cosenos es usada para encontrar las partes faltantes de un triángulo oblicuo (no rectángulo) cuando ya sea las medidas de dos lados y la medida del ángulo incluido son conocidas (LAL) o las longitudes de los tres lados (LLL) son conocidas. En cualquiera de estos casos, es imposible usar la ley de los senos porque no podemos establecer una proporción que pueda resolverse. La ley de los cosenos establece:        c2 = a2 + b2 – 2abcos C. Esto se parece al teorema de Pitágoras excepto que para el tercer término y si C es un ángulo recto el tercer término es igual 0 porque el coseno de 90° es 0 y se obtiene el teorema de Pitágoras. Así, el teorema de Pitágoras es un caso especial de la ley de los cosenos. La ley de los cosenos también puede establecerse como        b2 = a2 + c2 – 2accos B or        a2 = b2 + c2 – 2bccos A. Ejemplo 1: Dos lados y el ángulo incluído-LAL Dado a = 11, b = 5 y C = 20°. Encuentre el lado y ángulos faltantes.                               Para encontrar los ángulos faltantes, ahora es más fácil usar la ley de los senos.                Ejemplo 2: Tres lados-LLL Dado a = 8, b = 19 y c = 14.  Encuentre las medidas de los ángulos.                Es mejor encontrar el ángulo opuesto al lado más grande primero. En este caso, ese es el lado b.                       Ya que el cos B es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso.               B ≈ 116.80°        Ya que B es un ángulo obtuso y un triángulo tiene a lo más un ángulo obtuso, sabemos que el ángulo A y el ángulo C ambos son agudos.        Para encontrar los otros dos ángulos, es más sencillo usar la ley de los senos.