Ley de los senos

La ley de los senos es la relación entre los lados y ángulos de triángulos no rectángulos (oblicuos). Simplemente, establece que la relación de la longitud de un lado de un triángulo al seno del ángulo opuesto a ese lado es igual para todos los lados y ángulos en un triángulo dado.

En ∆ABC es un triángulo oblicuo con lados a, b y c, entonces .

Para usar la ley de los senos necesita conocer ya sea dos ángulos y un lado del triángulo (AAL o ALA) o dos lados y un ángulo opuesto de uno de ellos (LLA). Dese cuenta que para el primero de los dos casos usamos las mismas partes que utilizó para probar la congruencia de triángulos en geometría pero en el segundo caso no podríamos probar los triángulos congruentes dadas esas partes. Esto es porque las partes faltantes podrían ser de diferentes tamaños. Esto es llamado el caso ambiguo y lo discutiremos más adelante.

Ejemplo 1: Dado dos ángulos y un lado no incluído (AAL).

Dado ∆ABC con A = 30°, B = 20° y a = 45 m. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

       

       El tercer ángulo del triángulo es

              C = 180° – A – B = 180° – 30° – 20 ° = 130°

        Por la ley de los senos,

              

       Por las propiedades de las proporciones

              

Ejemplo 2: Dado dos ángulos y un lado incluído (ALA).

Dado A = 42°, B = 75° y c = 22 cm. Encuentre el ángulo y los lados faltantes.

       

       El tercer ángulo del triángulo es:

              C = 180° – A – B = 180° – 42° – 75° = 63°

       Por la ley de los senos,

              

       Por las propiedades de las proporciones

               y 

El caso ambiguo

Si dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos es dado, tres posibilidades pueden ocurrir.

            (1) No existe tal triángulo.

            (2) Dos triángulos diferentes existen.

            (3) Exactamente un triángulo existe.

Considere un triángulo en el cual se le da a, b y A. (La altitud h del vértice B al lado , por la definición de los senos es igual a b sin A.)

            (1) No existe tal triángulo si A es agudo y a < h o A es obtuso y a ≤ b.

                        

            (2) Dos triángulos diferentes existen si A es agudo y h < a < b.

                        

            (3) En cualquier otro caso, exactamente un triángulo existe.

                        

Ejemplo 1: No existe solución

Dado a = 15, b = 25 y A = 80°. Encuentre los otros ángulos y el lado. 

              h = b sin A = 25 sin 80° ≈ 24.6

       

       Dese cuenta que a < h. Así parece que no hay solución. Verifique esto usando la ley de los senos.

              

              

       Esto contrae el hecho de que –1 ≤ sin B ≤ 1. Por lo tanto, no existe el triángulo.

Ejemplo 2: Dos soluciones existen

Dado a = 6. b = 7 y A = 30°. Encuentre los otros ángulos y el lado. 

              h = b sin A = 7 sin 30° = 3.5

              h < a < b por lo tanto, hay dos triángulos posibles.

       

       Por la ley de lo senos, 

              

       Hay dos ángulos entre 0° y 180° cuyo seno es aproximadamente 0.5833, 35.69° y 144.31°.

                  Si B ≈ 35.69°                                               Si B ≈ 144.31°

                  C ≈180° – 30° – 35.69° ≈ 114.31°             C ≈ 180° – 30° – 144.31° ≈ 5.69°

                   

Ejemplo 3: Una solución existe

Dado a = 22, b =12 y A = 40°. Encuentre los otros ángulos y el lado.

                 a > b

       

       Por la ley de lo senos, 

              

       B es agudo.

              C ≈ 180° – 40° – 20.52° ≈ 119.48°

       Por la ley de lo senos,