Así se solucionó el defecto en la demostración del teorema de Fermat

El último teorema de Fermat, que ha fascinado a los matemáticos durante más de 350 años, ha sido por fin probado, según afirman los que han leído la demostración revisada, pero todavía no publicada. Sin embargo, el final de esta búsqueda desenfrenada ha resultado estar tan lleno de sorpresas de último momento como una novela policiaca.

Andrew Wiles, de 41 años, de la Universidad de Princeton, autor principal de la demostración, tuvo que salvar el triunfo de las garras del desastre. Su primera demostración, que atrajo la atención en todo el mundo cuando fue anunciada hace casi dos años (el 24 de junio de 1993), resultó contener un hueco, y Wiles vio que era incapaz de cerrarlo por sí solo.

El enorme trofeo intelectual de haber conquistado el problema matemático más famoso del mundo parecía estar a punto de escapársele de las manos. Si invitaba a un matemático famoso para ayudarle a cerrar el hueco correría el peligro de tener que compartir el mérito. Lo que necesitaba, y lo que consiguió, era una salvación milagrosa con el colaborador adecuado.

Desde el punto de vista matemático, el último teorema de Fermat resulta tener unas raíces extraordinariamente profundas, a pesar de su aparente sencillez. El teorema es un caso particular de una idea matemática global conocida como conjetura de Taniyama, que a su vez es un paso de gigante hacia el objetivo del programa Langlands, una gran teoría unificada de las matemáticas.

La conjetura

Probar el teorema de Fermat mostró cómo se podría abordar la conjetura de Taniyama, aún más inaccesible; ahora, utilizando la demostración de Wiles, uno de sus antiguos alumnos, Fred Diamond, de la Universidad de Cambridge (Reino Unido), ya ha realizado avances considerables en la conjetura.El último teorema de Fermat se remonta a 1637. El matemático y físico francés Pierre de Fermat lo garabateó en el margen de un libro, y añadió que había descubierto una prueba maravillosa, aunque el margen era demasiado estrecho para escribirla. El teorema afirma que las ecuaciones del tipo [x (elevado a) n] + [y (elevado a) n] = [z (elevado a) n] no tienen soluciones cuando n es un número entero mayor que 2, y x, y y z son números enteros positivos. Cuando n es igual a 2, la fórmula es la conocida ecuación pitagórica que afirma que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Una solución, por ejemplo, es [3 (elevado a) 2] + [4 (elevado a) 2] = [5 (elevado a) 2].

Tras anunciar la solución, Wiles, cauteloso y algo nervioso, decidió no dar una gran circulación a su manuscrito entre los matemáticos y esperar a que un selecto grupo de expertos proclamara que el razonamiento era correcto.

"Es un entorno muy competitivo", explica Wiles. Después de trabajar durante siete años y llegar tan cerca quería que la victoria fuera exclusivamente suya.

Un pequeño problema se convirtió, en una crisis. Primero se encontraron varios fallos menores y Wiles los subsanó. Pero en el otoño de 1993, uno de los revisores le pidió que justificara una afirmación, situada en mitad de su demostración, de que un determinado dato aproximado era correcto.

Después de esforzarse en vano, Wiles decidió aislarse por completo. En el mundo exterior, su secretismo irritó a muchos.

Desgraciadamente, cuenta Wiles, el hueco había surgido precisamente en la parte de la demostración donde se movía en un terreno menos firme. Había utilizado un método nuevo y potente diseñado por Matthias Flach, de la Universidad de Princeton. Pero, para Wiles, este método "utilizaba muchos mecanismos complejos y no me sentía completamente cómodo con él".

A medida que pasaban los meses, Wiles decidió finalmente que necesitaba ayuda. Sopesó cuidadosamente a quién le pediría unirse a él. Así que en diciembre de 1993 llamó a Richard Taylor, de 12 años, un antiguo alumno y profesor en la Universidad de Cambridge.

Taylor dice que se sintió sorprendido y emocionado. Estaba a punto de disfrutar de un año sabático, así que en enero del año pasado llegó a Princeton dispuesto a trabajar de forma intensiva en el problema. Aunque Wiles tiene una intuición "extraordinariamente buena", dice Taylor, "yo soy una persona más preocupada por los detalles".

Wiles y Taylor pasaron varios meses tratando de ver si se podía lograr que los métodos de Flach funcionaran. Después, durante el verano, intentaron un planteamiento diferente, más indirecto, en opinión de Wiles. Al final, Taylor sugirió que volvieran al método de Flach. "Confieso que entonces pensaba que requeriría un planteamiento totalmente nuevo que llevaría varios años y exigiría muchas personas", dice.

"Había una variante en el argumento original que estaba convencido de que no funcionaría; pero no le había convencido a él", recuerda Wiles. "Una mañana estaba sentado delante de mi mesa tratando de determinar exactamente por qué no funcionaba el método de Flach cuando, de pronto, vi que lo que hacía que no funcionara era precisamente lo que haría que funcionase un método que yo había intentado tres años antes. Fue totalmente inesperado. No acababa de creérmelo". Bajó corriendo del ático a decírselo a su mujer.

Dos semanas y media

Wiles trató de controlar su júbilo, cada vez mayor. "Estaba demasiado nervioso para pensar con claridad", dice. "Consulté con la almohada", continúa, y a la mañana siguiente llamó a Taylor, que para entonces había vuelto a Inglaterra. Los dos empezaron a colaborar a toda velocidad y dos semanas y media después habían escrito un artículo -en el que ambos figuran como autores- que cerraba el hueco de la demostración.Wiles dice que el avance decisivo consistió en imaginar cómo unir entre si un conjunto infinito de objetos matemáticos llamados anillos de Hecke. Ahora, los matemáticos ven a la vista la demostración final de la escurridiza conjetura de Taniyama. "Si tuviera que decir un plazo, diría que pasaran por lo menos unos meses, y como mucho unos años, antes de que se demuestre toda la conjetura", afirma Diamond.