Rincón Matemático

- octubre 27, 2015

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función f integrable sobre el intervalo $[a,b]$ , definimos F sobre $[a,b]$ por $F(x) = {\int_{a}^x f(t)dt}$ . Si f es continua en $c \in (a,b)$ , entonces F es derivable en $c$ y F'(c) = f(c).

Usando la Regla de la cadena obtenemos como consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal:

$\frac{d}{dx}{\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt} = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables.

El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función.

Enunciado

Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

$\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$