LA RADICACIÓN GRADO 5°

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN  (GRADO 11°)

El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

1. Tasa de variación media

Incremento de una función

Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer

f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

Tasa de variación media

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo

 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] = 

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función

f(x) =3-x² en el intervalo [0,2]

Solución

T.V.M. [0, 2] = 

Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2.

2. Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería .

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir :

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

=

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a +h , la derivada, en el punto a , también puede expresarse así:

Ejercicio 2. Hallar la derivada de la función f(x) = -x² +4x   el punto de abscisa x =1.

Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’₊ y f _-’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.

Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.

       

Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.

Proposición. Toda. función derivable en un punto es continua en dicho punto.

El recíproco es falso.

Ejemplo 2.  es continua en 0, pero no es derivable en 0.

Aplicación física de la derivada

         Consideremos la función espacio E= E(t).

         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t₀, t]  es:  v_M(t)=, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t₀, obtenemos la tasa instantánea, entonces:

La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5.

         Solución

         v(t)=E’(t)= 2t -6     en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4

3. Interpretación geométrica de la derivada

La tasa de variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.

Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:

La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))

La ecuación de la recta tangente en dicho punto se puede expresar

     y - f(a) = f ´(a)(x-a)       .

Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f,  pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)

Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x² +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuación y –3 = 2(x-1)

Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x²-x +5 en el punto de abscisa x=0

Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax² +5x –1 sean paralelas en x = 1.

Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente

4. Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas

 

La función derivada

La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales

1) f(x)  =k Þ f´(x) =0

2) f(x) =  xⁿ Þ f´(x) = nx^n-1

3) f(x) =  Þ f´(x) = 

4) f(x) = ln x Þ f´(x) = 

5) f(x) = e^x Þ = e^x

6) f(x) = sen x Þ f´(x) = cos x

7) f(x) = cos x Þ f´(x) = -sen x

Reglas de derivación

Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:

-(f +g)´= f´(a) + g´(a)

-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)

Además si g(a)0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-

Ejercicio 6. Calcula la derivada de:

a) f(x) = e^x(x²- 3x + 2); b) 

c) h(x) = tan  x;  d) 

Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:

a) f(x)=           

Observación: la gráfica de esta función es:        

b) y =

c) g(x)=

Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.

Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda,

y  f ´´´, f ´ ^v  que se dice son las derivadas sucesivas de f.

Ejercicio 8. Calcula las derivadas sucesivas de a) f(x)= e^x; b) g(x) =; c) h(x)= sen x.

Regla de la cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f_°g es derivable en a y se verifica:

(f_°g)´(a) = f´(g(a)).g´(a)

Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)

Derivación logarítmica

Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si Þ y’, y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.

Método:

Sea 

1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad

ln y =ln =g(x)ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2º Se deriva      

3º Se despeja y’

[][]

que puede escribirse : 

Observación. La fórmula por ser muy “compleja[1]” no suele aplicarse  es preferible aplicar el método en cada ejercicio.

Ejemplo 4. Consideremos la función y = x ^x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:

, y  derivando los dos miembros de la igualdad

       Þ y’=x^x(ln x +1)

Derivada de la función inversa

Es otra aplicación de la regla de la cadena.

Como f_°f ^-1= I, se tiene (f_°f ^–1)’(x)= f ’(f ^–1(x))(f ^–1)’(x)=1, luego despejando

(f ^–1)’(x)= 1/f ’(f ^–1)’(x),

Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x  Þ x = tg y,  y derivando x ’ = 1 +tg²y, de donde:

 Ejercicio 10. Calcula la derivada de las siguientes funciones:

a) f(x)= ;        b) ;

 c) y =;      d) h(x) =cos³(x²-2); 

e) y =e ^{arc tg x};                f) j(x) =arc sen(x + 3x²)

g) y =;      h) k(x) =(x²+1)^{cos x};

 j) y = ln ; k) y = ;